排列组合计算器

排列组合怎么算？nPr、nCr 与阶乘的区别

排列数、组合数与阶乘是组合数学的基础，区别只在是否关心顺序，本工具同时给出公式展开与计算过程。

本工具用标签切换三种计算方式，输入 n 与 r 后同时给出结果与计算过程。过程里会展开连乘或连除的算式，方便与课本公式对照。所有计算在浏览器本地完成，输入内容不会上传服务器。

排列数和组合数的区别是什么？

排列关心顺序，组合不关心顺序。10 个人里选出 3 个人排队，顺序不同算不同方案，是排列，共有 720 种；10 个人里选出 3 个人组成小组，顺序无关，是组合，共有 120 种。两者相差的倍数正是这 3 个人的全排列数 3 的阶乘等于 6。

nPr 的计算过程是怎么展开的？

排列数等于从 n 开始连续乘 r 个数。10 取 3 的排列展开为 10 × 9 × 8 等于 720，也可以写成 10 的阶乘除以 7 的阶乘。因为阶乘的商里公共部分会被约掉，所以实际只需要乘 r 个数，这也是工具采用连乘而不是先算两个大阶乘再相除的原因。

nCr 的计算过程是怎么展开的？

组合数等于排列数再除以 r 的阶乘。10 取 3 的组合展开为 10 × 9 × 8 除以 3 × 2 × 1，结果 120。计算时先约掉分子分母的公共因子再相乘，可以让中间结果小很多，C(100,50) 这种大数值也能快速算出。

阶乘有什么特殊情况？

0 的阶乘规定为 1，这不是随手定义，而是为了让组合公式在 r 等于 0 与 r 等于 n 时同样成立。阶乘增长极快，20 的阶乘已经超过 2 的 60 次方，因此工具用大整数运算避免精度丢失，同时把 n 的上限设为 1000，超过时会给出提示。

结果太大读不出来怎么办？

结果会按三位一组加千位分隔符，例如 C(100,50) 是 30 位整数，会按三位一组分组显示；超过 10 位的整数还会额外标注位数（100! 显示「位数: 158」），便于一眼判断量级。复制按钮复制的是不带分隔符的纯数字，可以直接粘贴进程序或表格参与后续计算，不会因为逗号被当成文本。

这些计算用在哪些场景？

常见场景包括抽奖号码的组合数、密码与验证码的可能数量、比赛对阵与排班方案数、抽样检测的组合计数等。需要统计一组数据的平均数与中位数时可以使用平均数计算器，需要计算占比与百分比时可以使用百分比计算器。